Conjunto vazio

Fonte: SAPO Saber, a enciclopédia portuguesa livre.

Cuidado: Este artigo ou secção não cita as suas fontes ou referências, em desacordo com a política de verificabilidade.
Ajude a melhorar este artigo providenciando fontes fiáveis e independentes no corpo do texto ou em notas de rodapé.
Símbolo usado para denotar o conjunto vazio.
Símbolo usado para denotar o conjunto vazio.
Símbolo usado para denotar o conjunto vazio.
Símbolo usado para denotar o conjunto vazio.

O conjunto vazio (representado graficamente por \varnothing) é o único conjunto que não possui elementos. A sua existência é mera consequência do axioma da especificação (ZF theory).

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por {} ou \varnothing. Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não pertence ao conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

[editar] Propriedades

  • O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto A;

Prova:

Suponha que \varnothing não é subconjunto do conjunto A. Para tal suposição deve existir um x tal que:

\{ x | \exists x \in \varnothing \and x \not\in A\}

O que é um absurdo, porque não existe elementos em \varnothing. Logo, não pode existir o conjunto A que não contenha \varnothing.

  • A união do conjunto vazio com qualquer conjunto A é A;
  • A intersecção do conjunto vazio com qualquer conjunto A é o conjunto vazio;
  • O conjunto vazio tem zero elementos; em termos formais pode-se afirmar mesmo que o número inteiro zero é o conjunto vazio.


  Este artigo é um esboço sobre Matemática. Você pode ajudar o SAPO Saber expandindo-o.
Ferramentas pessoais