Desvio padrão
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Em probabilidade e Estatística, o desvio padrão é a medida mais comum da dispersão estatística. O desvio padrão define-se como a raiz quadrada da variância. É definido desta forma de maneira a dar-nos uma medida da dispersão que:
- seja um número não negativo;
- use as mesmas unidades de medida que os nossos dados.
Faz-se uma distinção entre o desvio padrão σ (sigma) do total de uma população ou de uma variável aleatória, e o desvio padrão s de um sub-conjunto em amostra.
O termo desvio padrão foi introduzido na estatística por Karl Pearson no seu livro de 1894: "Sobre a dissecção de curvas de frequência assimétricas".
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[editar] Definição e cálculo
[editar] Desvio padrão de uma variável aleatória
O desvio padrão de uma variável aleatória X é definido como:
- Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): \operatorname{\sigma} = \sqrt{\operatorname{E}((X-\operatorname{E}(X))^2)} = \sqrt{\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2}
onde Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): \operatorname{E}(X)
é o valor esperado de X.
Nem todas as variáveis aleatórias possuem desvio padrão, porque esses valores esperados não precisam existir. Por exemplo, o desvio padrão de uma variável que flui em uma distribuição de Cauchy é indefinido.
[editar] Desvio padrão amostral
Se uma variável aleatória Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): \operatorname{X}
toma os valores Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): \operatorname{x}_1,\dots,\operatorname{x}_n
, então o desvio padrão para esta amostra de n números (ou desvio padrão amostral) pode ser computado como segue. Primeiro, a média de Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): \operatorname{X} , 
, é definida como:
- Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): \overline{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}
(veja notação sigma). Depois, o desvio padrão amostral é calculado como:
- Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): s = \sqrt{\dfrac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2}
A divisão por n − 1 aparece quando exigimos que a variância amostral Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): \operatorname{s}^2
seja um estimador não tendencioso da variância populacional Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): \operatorname{\sigma}^2
.
Quando os dados estão agrupados(frequência) temos:
- Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): s = \sqrt{\dfrac{1}{\sum_{i=1}^k {f_i}-1} \sum_{i=1}^k ((x_i - \overline{x})^2 \times f_i)}
onde k é o número de observações diferentes.
Em outras palavras, o desvio padrão amostral de uma variável aleatória X pode ser calculada como:
- Para cada valor Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): x_i
calcula-se a diferençaentre Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): x_i e o valor médio
- Calcula-se o quadrado dessa diferença. No caso dos dados estarem tabelados (com frequências), multiplica-se cada um destes quadrados pela respectiva frequência.
- Encontra-se a soma dos quadrados das diferenças. No caso dos dados estarem tabelados (com frequências), a soma é a dos produtos dos quadrados das diferenças pela respectiva frequência.
- Divide-se este resultado por: (número de valores - 1), ou seja, Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): (n-1)
.Esta quantidade é a variância Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): s^2 .
- Tome a raiz quadrática deste resultado.
[editar] Propriedades
thumb|300px|A distribuição normal. De uma distribuição normal unimodal, simétrica, de afunilamento médio (ou mesocúrtica) podemos dizer o seguinte:
- 68% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a um desvio padrão.
- 95% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a duas vezes o desvio padrão.
- 99,7% dos valores encontram-se a uma distância da média inferior a três vezes o desvio padrão.
Esta informação é conhecida como a regra dos "68-95-99,7".
[editar] Ver também
[editar] Ligações Externas
- Índice de Sharpe, definição e exemplos práticos Aplicação do Desvio Padrão no Índice de Sharpe
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