Sequência matemática

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Em matemática, uma sequência (ou uma sucessão) é um conjunto ordem de objetos ou eventos. Exemplos de sequências são comuns na vida cotidiana, já que frequentemente nos deparamos com situações em que enumeramos elementos de um conjunto seguindo uma determinada ordenação.

Por exemplo, podemos falar:

  1. Da sucessão dos presidentes de um país;
  2. Da sequência dos episódios de uma minissérie de televisão;
  3. Da sucessão de Papas do Vaticano;
  4. Da sequência dos pratos de um banquete.

E assim por diante.

Repare que há dois aspectos importantes: o tipo e a ordem dos elementos. Todos os elementos de uma sucessão são do mesmo tipo (por exemplo: apenas presidentes) e obedecem uma ordenação (por exemplo: primeiramente ocorre o primeiro episódio da minissérie, depois o segundo episódio, depois o terceiro episódio...).

Índice

[editar] Definição

Uma sucessão (português europeu) ou sequência (português brasileiro) é definida como sendo um conjunto S, dotado das seguintes características:

  1. Todos os seus elementos são do mesmo tipo (por exemplo: capítulos de uma telenovela);
  2. Os elementos também são denominados termos da sucessão;
  3. Cada termo possui uma posição definida, dentro do conjunto S;
  4. A posição de cada termo é determinada por um número natural, denominado índice;
  5. Cada termo possui um único índice, e cada índice pertence a um único termo (correspondência biunívoca);
  6. Dois termos só podem ser permutados se os seus respectivos índices também forem.

São exemplos de sucessão:

S1 = (domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado)

S2 = (1º de dezembro, 2 de dezembro, 3 de dezembro,..., 29 de dezembro, 30 de dezembro, 31 de dezembro)

S3 = (1, 2, 3, 4, 5, 6)

S4 = (-59, -32, 21, -1, 0, 1, 2, 3, -5, 933)

S5 = (1, 2, 3, 4, 5, 6...)

S6 = Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): \left(\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\ldots \right)


S7 = Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): \left(\frac{1}{1},-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\frac{1}{5}...\right)


S8 = (a1, a2, a3, a4, a5,..., an...)

Observe que:

  • As sucessões S1, S2, S3 e S4 possuem um número finito de termos. Este tipo de sucessão é denominado sucessão finita;
  • As sucessões S5, S6, S7 e S8 possuem um número infinito de termos. Este tipo de sucessão é denominado sucessão infinita;
  • As sucessões S3, S4, S5, S6 e S7 são numéricas, pois seus termos são números;
  • As sucessões S1 e S2 são não-numéricas, pois seus termos não são números;
  • A sucessão S8 é genérica: não sabemos se a1, a2, a3, a4 etc. representam números ou não-números. Ela será numérica ou não-numérica dependendo do contexto em que for utilizada;
  • S2 possui mais termos que S1, mas ambas são sucessões finitas: S1 possui 7 termos (os 7 dias da semana) e S2 possui 31 termos (os 31 dias do mês de dezembro);
  • As sucessões S3 e S5 parecem ser iguais, mas S3 possui apenas 6 termos, enquanto que as reticências em S5 indicam que a contagem de seus termos jamais termina;
  • As sucessões S6 e S7 parecem ser iguais, mas em S6 todos os termos têm sinal positivo, enquanto que em S7 os termos com denominador par têm sinal negativo;
  • Nem toda sucessão é "bonitinha": muitas vezes os termos serão muito diferentes uns dos outros, e identificar um padrão entre eles será tão difícil que permanecerá desconhecido. Um bom exemplo disto é a sucessão S4;
  • O primeiro termo da sucessão S8 é a1, o segundo termo é a2, o terceiro termo é a3, e assim por diante;
  • A notação an é utilizada para representar um termo genérico da sucessão. Como an é o termo de índice n, dizemos que ele é o n-ésimo (ou enésimo) termo da sucessão;
  • an não pode ser o "último" termo de S8, pois S8 é uma sucessão infinita, e uma sucessão infinita não possui um "último termo".

[editar] Estrutura

thumb|200px|right|Uma sucessão S, gerada pela função bijetora f a partir do domínio D. Este domínio é o conjunto dos índices da sucessão. Filosoficamente, toda sucessão possui uma lei de formação (ou seja: a lei que gerou os termos da sucessão). No entanto, isto não garante que sempre será possível escrevê-la. Quando for possível escrevê-la, diremos que a sucessão S efetivamente possui uma lei de formação.

Se a sucessão S efetivamente possuir uma lei de formação e esta lei puder ser escrita usando notação matemática, diremos que esta lei é a função Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): f:\mathbb{N}\mapsto S , em que UNIQ2edf5cfd2ae4cc01-math-00000008-QINU é o conjunto dos índices e S é o conjunto dos termos que são gerados a partir daqueles índices.

Na figura ao lado, observe que:

  1. D e S são conjuntos numéricos finitos;
  2. O conjunto D é um subconjunto de \mathbb{N};
  3. D é o domínio da função f;
  4. S é o contradomínio da função f;
  5. Os elementos do conjunto D são os índices da sucessão S;
  6. A função f, através de sua fórmula (ou expressão, ou sentença), utiliza os índices do conjunto D para gerar os elementos do conjunto S (termos da sucessão S);
  7. A expressão de f é f(n) = 2 . n. Isto significa que esta função "fabrica" termos que são o dobro do valor de seus índices respectivos.

Existindo a função matemática f, sua expressão será composta por uma ou mais funções elementares, e por isto diremos:

  1. Que a expressão da função f é a fórmula do termo geral; e
  2. Que a sucessão S possui representação matemática fechada (dada pela fórmula do termo geral).

Assim, uma sucessão ou sequência matemática S é o resultado da aplicação da função matemática f sobre cada elemento de \mathbb{N}.

[editar] Exemplos

1) Seja a sucessão S definida pela função Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): f:\mathbb{N}\mapsto S

tal que Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): f(n) = 2^n

.

Como Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): f(n) = 2^n , sabemos que a cada índice n (pertencente a \mathbb{N}) existirá um termo respectivo 2n (pertencente a S).

Portanto, Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): S = (1, 2, 4, 8, 16, 32...)


A correspondência entre cada termo da sucessão S e o seu índice pode ser representada em uma tabela, como segue:

índice → 0 1 2 3 4 5 ... n
fórmula do termo → 20 21 24 25 ... 2n
termo → 1 2 4 8 16 32 ... 2n

2) Outro bom exemplo de sequência é a enumeração ordenada crescente dos números naturais não-nulos (Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): \mathbb{N}^* ):

Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): S = (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12...) .

Neste caso, a função Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): f:\mathbb{N}\mapsto S

é tal que Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): f(n)=n+1

.

Tal qual no exemplo anterior, podemos utilizar uma tabela para representar os índices e termos da sucessão, assim como a relação que obtém cada termo a partir do seu índice:

índice → 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ... n
fórmula do termo → 0+1 1+1 2+1 3+1 4+1 5+1 6+1 7+1 8+1 9+1 10+1 11+1 ... n+1
termo → 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... n+1

Se S for o conjunto dos inteiros (\mathbb{Z}), então tratar-se-á de uma sucessão inteira. Se S for um conjunto de polinômios, então tratar-se-á de uma sucessão polinomial.

Em certos casos, pode-se falar em convergência e em divergência da sucessão. Isto é discutido em mais detalhes no artigo sobre limites.

[editar] A sintaxe na notação matemática

Para representar uma sucessão, também é comum o uso da notação {Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): a_{n} }. Porém, os matemáticos mais formais tendem a rejeitar este formato. O motivo é que em matemática faz-se uso das chaves sempre que se deseja representar um conjunto através da enumeração dos seus elementos, ou quando se deseja dispor da sua lei de formação. Assim, pode-se por exemplo escrever o conjunto A = {2,4,8,16,32,64,128,256}, ou ainda representá-lo por A = {2k | Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): k \in

{1,2,3,4,5,6,7,8}}.

Nota: o conjunto A acima também pode ser entendido como o conjunto de todas as potências de base 2 e expoente k, em que k é um número natural que pertence ao conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8}. Portanto, A = 21,2²,2³,24,25,26,27,28} = {2,4,8,16,32,64,128,256}.

O problema é que, em teoria dos conjuntos, a ordem e a freqüência com que os elementos aparecem e se repetem nada afetam a estrutura do conjunto. Portanto, se B = {8,256,64,16,2,128,64,8,4,32,256,128,2}, cada um dos elementos de B existe também em A (e vice-versa), e o fato de alguns elementos do conjunto B se repetirem pode (e deve) ser ignorado, pois elementos repetidos são computados somente uma vez, sendo indiferente representar B por {8,256,64,16,2,128,64,8,4,32,256,128,2} ou sinteticamente por {8,256,64,16,2,128,4,32}. Portanto, embora a ordem em que aqueles elementos apareçam nos dois conjuntos seja diferente, e embora em B alguns elementos se repitam, na verdade A e B têm exatamente os mesmos elementos. Conseqüentemente, pode-se afirmar que A = B.

Por outro lado, quando se deseja representar um par ordenado, usam-se os parênteses: (x,y). Do mesmo modo, uma tripla ordenada poderia ser representada por (x,y,z) e uma quádrupla ordenada de números inteiros poderia ser representada por (-1000,2,68,-19).

A diferença essencial entre o par {x,y} e o par (x,y) é a questão da ordem: no caso do par {x,y} a ordem não importa, portanto o par {y,x} é igual ao par {x,y}, e ambos representam um conjunto que possui dois elementos: x e y.

Já o par ordenado (x,y) é diferente do par ordenado (y,x), pois neste caso a ordem importa (daí o uso da palavra ordenado). Isto explica o motivo por que, uma vez que os pares (2,3) e (3,2) são diferentes — e essa diferença está justamente na posição ocupada por cada um de seus elementos — é necessário que esses pares sejam representados entre parênteses, ao invés de entre chaves.

De maneira similar ao caso dos pares ordenados, uma sucessão possui uma ordem (determinada pelo índice de cada elemento da sucessão), e por isto escrever {1,2,3,4,5} é diferente de escrever (1,2,3,4,5). No caso do conjunto {1,2,3,4,5}, a ordem não importa, portanto o conjunto também poderia ser representado por {5,3,1,2,4}, e está correto escrever {1,2,3,4,5} = {5,3,1,2,4}. Já no caso do conjunto ordenado (1,2,3,4,5), também denominado ênupla ordenada ou n-upla ordenada, devido à presença de n termos ou elementos na sucessão (n = 5, neste caso), interessa a posição ocupada por cada elemento, e portanto (1,2,3,4,5) é diferente de (5,3,1,2,4).

Finalmente, tendo em vista que uma sucessão possui noção de ordem (devido ao estabelecimento de um índice de posição para cada elemento da seqüência), é importante representar o conjunto dos n elementos da sucessão através da n-upla ordenada (a1,a2,a3,a4,...,an), o que pode ser abreviadamente representado por (an), e um matemático mais formal rejeitará a forma {an} por entender que, neste segundo caso, a noção de ordem foi desprezada.

[editar] Recursão

Nota: caso sinta dificuldade com o símbolos utilizados nesta seção, ou mesmo neste artigo, consulte os artigos que tratam de notação matemática, simbologia matemática e lógica matemática. Também é altamente recomendável consultar a tabela de símbolos matemáticos.

Pode-se definir uma sucessão de modo recursivo. Este modo consiste em estabelecer um ou mais termos iniciais e, a partir dele(s), atribuir uma lei de formação em que cada novo termo dependa do(s) termo(s) antecedente(s).

Os termos iniciais (ou geradores) deverão possuir índice menor que o do termo que se deseja gerar. Exemplo: para que seja possível gerar recursivamente o termo an, é necessário que exista pelo menos um termo de índice menor que n.

Assim, fixado um conjunto de constantes C = {c0,c1,c2,c3,c4,c5,c6...} (Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): \sub\mathbb{N} ), uma sucessão recursiva genérica natural S (com termo a0 Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): \in \mathbb{N}

pré-definido) pode ser definida por uma função Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): g:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}
que tenha a seguinte forma: Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): a_{n}=\sum_{i=0}^{n-1} c_{i} . a_{i}, \forall c,i,n \in \mathbb{N} \land \forall n>0


Note que, no exemplo acima, devemos ter n > 0, uma vez que a0 já está pré-definido. Portanto, se a0 = w (um valor natural qualquer) e desejamos encontrar o valor de a1, temos que realizar a seguinte seqüência de cálculos: Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): a_{1}=\sum_{i=0}^{n-1} c_{i} . a_{i} \begin{matrix} _{_{(n=1)}} \\ \Rightarrow \end{matrix} a_{1}=\sum_{i=0}^{1-1} c_{i} . a_{i} \Rightarrow a_{1}=\sum_{i=0}^{0} c_{i} . a_{i} \Rightarrow a_{1}= c_{0} . a_{0} \Rightarrow a_{1}= c_{0} . w

(RESPOSTA)

Do mesmo modo, se desejarmos encontrar o valor de a2, deveremos realizar a seguinte seqüência de cálculos: Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): a_{2}=\sum_{i=0}^{n-1} c_{i} . a_{i} \begin{matrix} _{_{(n=2)}} \\ \Rightarrow \end{matrix} a_{2}=\sum_{i=0}^{2-1} c_{i} . a_{i} \Rightarrow a_{2}=\sum_{i=0}^{1} c_{i} . a_{i} \Rightarrow a_{2}= c_{0} . a_{0} + c_{1} . a_{1}


Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): \Rightarrow a_{2}= c_{0} . w + c_{1} . (c_{0} . w) \Rightarrow a_{2}= c_{0} . (w + w. c_{1}) \Rightarrow a_{2}= c_{0} . w . (1 + c_{1}) \Leftrightarrow a_{2}= c_{0} . (1 + c_{1}) . w

(RESPOSTA)

No caso acima, a escolha das constantes do conjunto C foi aleatória. Porém, pode-se também obter essas constantes de forma sistemática. A título de exemplo, sejam fixadas duas constantes naturais k e m (com k > m). As constantes ci podem ser obtidas a partir de uma função Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): j:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}

tal que Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): j(i) = c_{i} = k.i - m, \forall c,i,k,m \in \mathbb{N}


Esse tipo de sucessão pode ficar ainda mais complicado, bastando definir uma função r que, por exemplo, "transforme" a i-ésima constante natural ci em um número real (\mathbb{R}) ou complexo (\mathbb{C}). Exemplo:

Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): r:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R} = \sqrt[3]{\frac{-x}{4}}, \forall x \in \mathbb{N} \Rightarrow a_{n} = \sum_{i=0}^{n-1} {r(c_{i})^i . a_{i}}, \forall c,i,n \in \mathbb{N}


Nota: observe que, no exemplo acima, Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): r(c_{i})^i \in \mathbb{R}

[editar] Progressão Aritmética e Progressão Geométrica

Existem duas modalidades de sucessão recursiva muito conhecidas em matemática: a Progressão Aritmética (P.A.) e a Progressão Geométrica (P.G.).

A diferença essencial entre as duas é que:

  • Na P.A., cada termo é igual à soma do termo anterior com uma constante denominada "razão da P.A.". Esta razão é geralmente representada pela letra r;
  • Na P.G., cada termo é igual ao produto do termo anterior por uma constante denominada "razão da P.G.". Esta razão é geralmente representada pela letra q.

Em P.A. e P.G., a função f que as descreve tem domínio em Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): \mathbb{N}^* . Isto significa que o primeiro termo da progressão será f(1) (ou então a1), ao invés de f(0) ou a0.

[editar] Progressão Aritmética

Ver artigo principal: Progressão aritmética

A Progressão Aritmética é uma sucessão recursiva \mathbb{A} definida assim:

  • Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): a:\mathbb{N}^*\mapsto\mathbb{A}

(definição da função a)

  • Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): a_n = a_1 + (n-1).r

(fórmula do termo geral)

  • Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): a_n = a_{n-1} + r

(fórmula da recursão aritmética, que é outra maneira de se calcular an)

  • a1 e r são constantes previamente definidas

Exemplos de P.A.:

  • (Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): a_{1}
= 1, r = 1): Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)
  • (Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): a_{1}
= -3, r = 5): Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): (-3,2,7,12,17,22,27,...)
  • (Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): a_{1}
= 13, r = -3): Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): (13,10,7,4,1,-2,-5...)


[editar] Progressão Geométrica

Ver artigo principal: Progressão geométrica

A Progressão Geométrica é uma sucessão recursiva Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): \mathbb{G}

definida assim:
  • Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): g:\mathbb{N}^*\mapsto\mathbb{G}

(definição da função g)

  • Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): g_n = g_1.q^{(n-1)}

(fórmula do termo geral)

  • Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): g_n = g_{n-1}.q

(fórmula da recursão geométrica, que é outra maneira de se calcular Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): g_n )

  • Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): g_1
e q são constantes previamente definidas

Exemplos de P.G.:

  • (Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): g_{1}
= 1, q = 1): Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...)
  • (Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): g_{1}
= 3, q = -1): Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): (3,-3,3,-3,3,-3,3,-3,...)
  • Falhou ao verificar gramática (Executável texvc não encontrado; Consulte math/README para instruções da configuração.): (g_{1} = 16, q = \frac{-1}{2}): (16,-8,4,-2,1,\frac{-1}{2},\frac{1}{4}...)


[editar] Ver também

[editar] Ligações externas


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